Признаки сравнения

Если $\forall{n \in \mathbb{N}}\mathpunct{:}~ 0 \leq a_{n} \leq b_{n},$ тогда: - $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}$ сходится $\implies$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ сходится - $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ расходится $\implies$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}$ расходится.

Если $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}$ сходится, то по критерию Коши: $$\sum_{k=n+1}^{m} a_{k} \leq \sum_{k=n+1}^{m} b_{k} < \varepsilon$$ Следовательно, по критерию Коши $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ сходится. Второе утверждение доказывается через импликацию или аналогично по критерию Коши. $\square$

Если $\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n}}{b_{n}} = C \neq 0$, то $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}$ сходятся и расходятся одновременно.

По определению предела последовательности: $$-\varepsilon < \dfrac{a_{n}}{b_{n}} - C < \varepsilon ~~~~\Huge|\normalsize +C$$ $$C-\varepsilon < \dfrac{a_{n}}{b_{n}}<C + \varepsilon ~~~~\Huge|\normalsize \cdot b_{n}$$ $$(C - \varepsilon)b_{n} < a_{n} < (C + \varepsilon)b_{n}$$ К полученному применим признак сравнения и получим что и требовалось доказать. $\square$